Minggu, 06 Juli 2014

Mat. dan Ilmu Alamiah Dasar minggu ke-14 & 15

PROPOSISI

KONSEP DAN NOTASI DASAR
   Di dalam penggunaan nya bahasa matematika khususnya pada logika sistematis, yang dimaksud proposisi adalah kalimat atau pernyataan yang selalu mempunyai nilai kebenaran, mungkin pernyataan itu bernilai benar saja, atau salah saja, tetapi tidak keduanya.
Notasi pernyataan ditulis dengan huruf kecil p ,q, r, s, t, ¼, dan seterusnya, sedangkan nilai kebenarannya diberi simbol 1 untuk pernyataan yang bernilai benar dan 0 untuk pernyataan yang bernilai salah. 

Tabel Kebenaran Proposisi
TABEL KEBENARAN

Tautologi, Kontradiksi dan Ekivalen Logika

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.
Contoh:
Lihat pada argumen berikut:
Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.
Diubah ke variabel proposional:
A  Tono pergi kuliah
B  Tini pergi kuliah
C  Siska tidur
Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.
(1)   A → B                                    (Premis)
(2)   C → B                         (premis)
   (3) (A V C) → B              (kesimpulan)
Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. 
Contoh dari Kontradiksi:
1.      (A ʌ ~A)
Pembahasan:
A
~A
(A ʌ ~A)
B
S
S
B
S
S
Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah. 

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “  dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.



Aljabar Proposisi

Jika p, q, dan r merupakan proposisi-proposisi maka berlaku:

1. Hukum idempoten .           a.             pÚ pºp ;             b.      pÙpºp

2. Hukum asosiatif . a. (p Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r)                 b. p Ù q) Ù r º p Ù (q Ù r)

3. Hukum komutatif. a. p Ú q º q Ú p ;                b. p Ù q º q Ù p

4. Hukum distributif a.             p Ú (q Ù r) º (p Ú q) Ù (p Ú r)
b.        p Ù (q Ú r) º (p Ù q) Ú (p Ù r)

5. Hukum Identitas . a. p Ú Salah º p ;                  b. p Ù Benar º p

6. Hukum Identitas. a. p Ú Benar º Benar ; b. p Ù Salah º Salah

7. Hukum Komplemen. a. p Ú p º Benar ;                      b. p Ù p º Salah


8. Hukum Komplemen . a. p º p ;                    b. Salah º Benar ; Benar = Salah

9. Hukum De Morgan. a. p Ú q º p Ù q
(       )                  b. p Ù q º p Ú q
(       )
  IMPLIKASI

“Jika Sore nanti tidak hujan, maka saya akan mengajakmu nonton”. Janji Elzan ini hanyalah berlaku untuk kondisi sore nanti tidak hujan. Akibatnya, jika sore nanti hujan, tidak ada keharusan bagi Elzan untuk mengajak Gusrayani nonton. Misalkan p dan q adalah pernyataan. Suatu implikasi (pernyataan bersyarat) adalah suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q”, dilambangkan dengan  p  CodeCogsEqn (7) q. Pernyataan p disebut hipotesis (ada juga yang menamakan anteseden) dari implikasi. Adapun pernyataan q disebut konklusi (atau kesimpulan, dan ada juga yang menamakan konsekuen). Implikasi bernilai salah hanya jika hipotesis p bernilai benar dan konklusi q bernilai salah


 
 

Sabtu, 05 Juli 2014

Mat.dan Ilmu Alamiah Dasar minggu ke-13

FUNGSI
Sebuah fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua

Pengertian Domain, Kodomain, Range
Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.
contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".
Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :
{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.
Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :
Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }
Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }
Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “

Faktor dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan :
a. Diagram Panah
b. Diagram Cartesius
c. Himpunan pasangan berurutan.
Jawab:
c. Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 4),
(4, 8),(6, 6)}

Domain, Kodomain  dan Range 

Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan  B disebut Kodomain (daerah kawan) dan  semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).

Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di bawah ini:

Jawab:
a. Domain = { 3, 5 }
Kodomain = { 1, 2, 6, 8, 9}
Range = { 1, 2, 8}
b. Domain = { 3, 5, 7, 8}
Kodomain = { 1, 2, 3, 4, 7, 8}
Range = { {1, 2, 3, 4, 7, 8}

NAMA : PRISTA DICA KURNIA
NPM : 16513934
KELAS : 1PA10

Mat. dan Ilmu Alamiah Dasar minggu ke-12

PRODUK KARTESIUS DAN RELASI
 
Himpunan semua pasangan berurutan (a,b) dengan a A dan b B disebut himpunan perkalian A dan B atau produk kartesius A dan B ditulis dengan notasi     A x B dan didefinisikan sbb ; A x B = {(a,b) : a A, b B}
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Contoh
Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}, maka          A x B = {(1,a), (2,a), (3,a), (1,b), (2,b), (3,b)}    dan B x A = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}

RELASI MATRIKS
Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, . . .,am} dan B = {b1, b2, . . .,bn}, relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij]

Yang dalam hal ini :

Dengan kata lain, elemen matriks pada posisi (i,j) bernilai 1 jika ai dihubungkan dengan bj dan bernilai 0 jika ai tidak dihubungkan dengan bj.
Relasi R pada table 1 dapat dinyatakan dengan matriks :


yang dalam hal ini, a1 = Amir, a2 = Budi, a3 = Cecep, dan b1 = INF0221
Picture
Diagram Panah

Anggota-anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut diagram panah.

RELASI INVERS
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan R-1 adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sbb ; R-1 = {(b,a) : (a,b) R}
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Contoh Relasi Invers
Misalkan A = {1, 2} dan B = {a, b}, maka R = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)} merupakan suatu relasi dari A ke B. Tentukan relasi invers dari R ! Relasi invers dari R adalah ; R-1 = {(a,1), (b,1), (a,2), (b,2)}

KOMPOSISI RELASI
Komposisi relasi seperti halnya komposisi fungsi jadi seperti  kombinasi hanya beda macam operasinya.
Misal R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. komposisi R dan S dinotasikan dengan  R0S adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh
          R0S = {(a,c)|aЄA, c Є C, dan untuk beberapa bЄB, (a,b)ЄR dan (b,c)ЄS}

Contoh
Misalkan R = {( 1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah relasi dari A={1,2,3} dan B={2,4,6,8} ,dan
 S={( 2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} adalah relasi dari B ke C={s,t,u}. Tentukan komposisi relasi R dan S yaitu R0S
Jawab
R0S = {(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)}

Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dalam matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang menyatakan komposisi dari relasi tersebut adalah
                                                                                        MR1oR2= MR1 . MR2
operator “ 0 “ sama seperti pada perkalian matrik, tetapi mengganti tanda kali dg L, sedangkan jumlah dengan V
Dalam hal ini ingat operasi pada aljabar bool yaitu tanda atau(V)  seperti jumlah sedang kan tanda dan(L) seperti kali

1. Refleksif
Relasi R pada himpunan A disebut refleksif,  jika (a,a)ЄR untuk setiap aЄA.

Contoh
Relasi R didefinisikan pada himpunan A dimana  A={1,2,3,4}
a) Diketahui ,  R={(1,1), (1,3),(2,1), (2,2), (3,3), (4,2), (4,3), (4,4)}
b) Diketahui , R={(1,1),  (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)}.
Tentukan apakah R refleksif ?
Jawab
a) bersifat refleksif karena  (a,a) ada dalam R yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4)
b) tidak refleksif karena ada (a,a) tidak ada dalam R yaitu (3,3).
Dilihat dari cara penulisan relasi, relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks  denganbentuk semua bernilai 1 pada diagonal utamanya ,  sedangkan graf berarah adanya gelang pada setiap simpulnya.

2. Simetris (setangkup)
Sebaliknya dikatakan tidak simetris.

Contoh
Relasi R didefinisikan pada himpunan A dimana  A={1,2,3,4}
a) Diketahui ,  R={(1,1), (1,2),(2,1), (2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}
b) Diketahui , R={(1,1),  (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)}.
Tentukan apakah R simetris ?
Jawab
a) simetris karena jika (a,b)ЄR, ada juga  (b,a)ЄR yaitu (1,2) , (2,1) ЄR, begitu juga (2,4) , (4,2)ЄR
b) tidak simetris karena (2,3)ЄR tetapi (3,2) tidak dalam R

Dilihat cara penulisan relasi, relasi bersifat simetris mempunyai matriks yang elemen-elemen dibawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen diatas diagonal utama, atau mij = mji umtuk i= 1,2,.......n. sedangkan graf berarahnya mempunyai ciri : jika ada busur a ke b, maka ada juga busur dari b ke a

3. Transitif (penghantar)
Relasi R pada himpunan A disebut  transitif (penghantaf), untuk a, b, c Є A, jika (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,maka harus ada (a,c)ЄR.

Contoh
Misal A={1,2,3,4}, dan relasi R pada A
a) diketahui R= {(2,1), (3,1),(3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}
b) Diketahui , R={(1,1),  (2,3),  (2,4), (4,2)}.
Tentukan apakah R refleksif ?
Jawab
a) transitif karena memenuhi syarat untuk, a,b,c ЄA, jika ada (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,maka terlihat ada (a,c)ЄR.
b) tidak bersifat transitif karena tidak memenuhi syarat untuk, a,b,c ЄA, jika ada (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,tidak terlihat ada (a,c)ЄR. Dalam hal ini ada (2,4), dan(4,2) tetapi (2,2)ÏR
NAMA : PRISTA DICA KURNIA
NPM : 16513934
KELAS : 1PA10