Mat. dan Ilmu Alamiah Dasar minggu ke-10

1. Himpunan
a. Pengertian Himpunan
    Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek. Obyek-obyek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan disebut anggota, atau elemen, atau unsur. Obyek-obyek suatu himpunan sangat bervariasi; bisa berupa orang-orang tertentu, hewan-hewan tertentu, tanam-tanaman tertentu, benda-benda tertentu, buku-buku tertentu, angka-angka tertentu dan sebagainya.
b. Penulisan Himpunan
    Himpunan dapat dituliskan dengan empat cara :

• Dengan menyebutkan semua anggota nya yang diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan diantara tiap anggota nya dipisahkan dengan tanda koma. Cara ini disebut dengan tabulasi. 

Contoh:           A = {a, i, u, e, o}

                        B = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}

•  Menyebutkan syarat anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara Deskripsi. 

Contoh: ambil bilangan asli kurang dari 5

A = bilangan asli kurang dari 5

• Notasi pembentuk himpunan : Dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat -sifat umum dari anggotanya.

Contoh :

A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 5

Dengan notasi pembentuk himpunan, di tulis:

     {x|x < 5, x bilangan asli }

• Himpunan juga dapat dituliskan secara grafis.

Contoh :

• Cara Pendaftaran dimana angota himpunan ditulis secara terdaftar, ialah dengan mencantumkan seluruh obyek yang menjadi anggota suatu himpunan. Sebagai contoh :

a.      D = { Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu }

b.      M = {a,b,c.d,e,f,g}

c.       Himpunan faktor pembagi bilangan 12,  D₁₂ = {1,2,3,4,6,12} dan relasi ‘x membagi y’ membentuk sebuah poset.

A = (1,2,3,4, 5)

berarti himpunan A beranggotakan bilangan-bilangan bulat positif 1,2, 3, 4 dan 5

•  Cara Pencirian atau kaidah dimana angota himpunan ditulis hanya ciri nya saja ialah dengan menyebutkan karakteristik tertentu dari obyek-obyek yang rnenjadi anggota himpunan tersebut; sebagai contoh :
  
          D = { x | x nama hari dalam satu minggu }

Contoh 2 :

D   = { Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu }

       = { x | x nama hari dalam satu minggu }

A = { x ; 0<x<6}

berarti himpunan A beranggotakan obyek x, di mana x adalah bilangan-bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari enam.

Untuk himpunan A di atas, penyajiannya secara kaidah dapat pula dituliskan sebagai berikut :

A = {x,. 1 <  x < 5}

berarti himpunan A beranggotakan obyek x yang harganya paling sedikit sama dengan satu dan paling banyak sama dengan lima.

 

c. Macam-Macam Himpunan

• Himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis  A ⊂ B ” jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.

Dinyatakan dengan simbol :   A ⊂  B

Syarat :

A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B

A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B

B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

Contoh :

Misal   A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka         B ⊂ A

Sebab  setiap  elemen  dalam  B merupakan  elemen  dalam A,  tetapi  tidak sebaliknya.

Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus mempunyai unsur himpunan A  juga merupakan unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.

• Himpunan Kosong (Nullset) adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali.

Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan

 Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan { 0 }.

Sebab : { 0 } ≠ { }

Contoh :

A = {x Î R |x² + 4 = 0 }

Dalam hal ini jelas tidak ada harimau yang hidup di air  maka A = ø

Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).

• Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan. Biasanya hinpunan semesta ditetapkan sebelum kita membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan tersebut merupakan bagian dari himpunan pembicaraan.
  
  
  Contoh : 

a.       Apabila kita membicarakan himpunan A  maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah: U = himpunan bilangan cacah

• Himpunan Berhingga

Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu atau n(A) = a, a  bilangan cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah.

Contoh :

a. A =  karena                         n(A) = 0, 0  bilangan cacah.

b. B =                                      n(B) = 75, 75  bilangan cacah.

• Himpunan Tak Berhingga. Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat himpunan berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain himpunan A, n banyak anggotanya tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah.   

Contoh :

  Q= {1,2,3,4...}

Apabila kita menghitung anggota himpunan Q, maka proses perhitungan anggota Q tidak akan berakhir. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga dan n(Q) = ~

• Himpunan Sama (Equal) 

Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya.

Syarat : 

Dua buah himpunan anggotanya harus sama.

Contoh : 

A ={ c,d,e}

B={ c,d,e } 

Maka A = B

Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.

•   Himpunan Lepas 

Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama

Contoh  C = {1, 3, 5, 7}   dan  D = {2, 4, 6}  Maka himpunan C dan himpunan D saling lepas. 

Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama.

• Himpunan Komplemen (Complement set) 

Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi A^C .

Himpunan komplemen jika di misalkan U = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi A^C = {1,2,6,7} 

Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis : A^C = {x│x Î U, x Ï A}

• Himpunan Ekuivalen (Equal Set) 

Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain.

Syarat :

Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,

Contoh :

A = { w,x,y,z }→n (A) = 4

B = {  r,s,t,u   } →n  (B) = 4

Maka n (A) =n (B) →A≈B

Penjelasan :

Himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari himpunan tersebut, bila himpunan A  beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.

NAMA : PRISTA DICA KURNIA
NPM : 16513934
KELAS : 1PA10